최대공약수와 최소공배수
1. 최대공약수(GCD)란?
최대공약수(Greatest Common Divisor, GCD)란 두 수 이상의 숫자가 공통으로 가지는 가장 큰 약수를 의미합니다.
예를 들어, 12와 18의 최대공약수를 구해보겠습니다.
1.1 12와 18의 약수 찾기
- 12의 약수: 1, 2, 3, 4, 6, 12
- 18의 약수: 1, 2, 3, 6, 9, 18
1.2 공통된 약수 찾기
- 12와 18의 공통 약수: 1, 2, 3, 6
1.3 최대공약수 찾기
- 공통된 약수 중 가장 큰 숫자는 6
- 따라서, 최대공약수(GCD) = 6
2. 최소공배수(LCM)란?
최소공배수(Least Common Multiple, LCM)란 두 수 이상의 숫자가 공통으로 가지는 가장 작은 배수를 의미합니다.
예를 들어, 12와 18의 최소공배수를 구해보겠습니다.
2.1 12와 18의 배수 찾기
- 12의 배수: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, ...
- 18의 배수: 18, 36, 54, 72, 90, 108, ...
2.2 공통된 배수 찾기
- 12와 18의 공통 배수: 36, 72, 108, ...
2.3 최소공배수 찾기
- 공통된 배수 중 가장 작은 숫자는 36
- 따라서, 최소공배수(LCM) = 36
3. 최대공약수와 최소공배수의 관계
최대공약수(GCD)와 최소공배수(LCM) 사이에는 다음과 같은 중요한 공식이 있습니다.
공식:
A×B=최대공약수(GCD)×최소공배수(LCM)A \times B = \text{최대공약수(GCD)} \times \text{최소공배수(LCM)}
즉, 두 수의 곱은 최대공약수와 최소공배수의 곱과 같습니다.
예제: 12와 18
12×18=6×3612 \times 18 = 6 \times 36 216=216216 = 216
공식이 성립함을 확인할 수 있습니다.
4. 최대공약수와 최소공배수 구하는 방법
4.1 소인수분해를 활용한 방법
소인수분해란 숫자를 소수(2, 3, 5, 7, ...)의 곱으로 나타내는 것을 의미합니다.
12와 18의 소인수분해
- 12 = 2 × 2 × 3
- 18 = 2 × 3 × 3
최대공약수 구하기
공통된 소인수 중 가장 작은 지수의 곱을 취합니다.
- 공통된 소인수: 2, 3
- 최대공약수(GCD) = 2 × 3 = 6
최소공배수 구하기
모든 소인수를 가장 큰 지수로 곱합니다.
- 포함된 소인수: 2 × 2 × 3 × 3
- 최소공배수(LCM) = 2 × 2 × 3 × 3 = 36
4.2 유클리드 알고리즘을 이용한 방법
유클리드 알고리즘은 최대공약수를 빠르게 구하는 방법입니다.
유클리드 알고리즘 단계
- 두 수 A, B 중 큰 수에서 작은 수를 나눈 나머지를 구한다.
- 나머지를 새로운 B로 설정하고, 기존 B를 새로운 A로 설정한다.
- 나머지가 0이 될 때까지 반복한다.
예제: 12와 18의 최대공약수(GCD) 구하기
- 18 ÷ 12 = 몫 1, 나머지 6
- 12 ÷ 6 = 몫 2, 나머지 0 (끝)
- 따라서, 최대공약수(GCD) = 6
4.3 최소공배수 구하기
최대공약수를 구한 후, 다음 공식을 이용하여 최소공배수를 쉽게 구할 수 있습니다.
LCM=A×BGCD\text{LCM} = \frac{A \times B}{\text{GCD}}
예제: 12와 18의 최소공배수(LCM) 구하기
LCM=12×186=2166=36\text{LCM} = \frac{12 \times 18}{6} = \frac{216}{6} = 36
따라서, 최소공배수(LCM) = 36
5. 여러 개의 숫자에서 최대공약수와 최소공배수 구하기
5.1 여러 숫자의 최대공약수(GCD)
예를 들어, 24, 36, 48의 최대공약수를 구해보겠습니다.
- 각 숫자의 약수 찾기
- 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
- 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
- 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
- 공통 약수 찾기: 1, 2, 3, 4, 6, 12
- 최대공약수(GCD) = 12
5.2 여러 숫자의 최소공배수(LCM)
- 24, 36, 48의 배수 중 공통된 가장 작은 배수 찾기
- 최소공배수(LCM) = 144
6. 최대공약수와 최소공배수를 활용하는 실생활 예시
6.1 분수의 덧셈과 뺄셈
분수를 더하거나 뺄 때, 공통 분모를 찾기 위해 최소공배수를 사용합니다.
예를 들어,
16+18\frac{1}{6} + \frac{1}{8}
공통 분모 = 6과 8의 최소공배수 = 24
424+324=724\frac{4}{24} + \frac{3}{24} = \frac{7}{24}
6.2 반복되는 주기의 계산
예를 들어, 3일마다 오는 행사와 5일마다 오는 행사가 동시에 열리는 날을 찾을 때 최소공배수를 사용합니다.
3과 5의 최소공배수는 15, 즉 15일마다 동시에 열립니다.
7. 결론
최대공약수(GCD)와 최소공배수(LCM)는 수학에서 매우 중요한 개념이며, 분수 계산, 주기 계산 등 다양한 실생활 문제를 해결하는 데 활용됩니다.
최대공약수는 공통된 약수 중 가장 큰 수, 최소공배수는 공통된 배수 중 가장 작은 수를 의미하며, 이를 구하는 방법으로 소인수분해, 유클리드 알고리즘, 공식 활용이 있습니다.
이제 최대공약수와 최소공배수를 쉽게 구할 수 있겠죠?
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